• Blended Learning & Flipped Classroom

L'insegnamento si inserisce all’interno del percorso degli studi perseguendo alcuni degli obiettivi generali di apprendimento.
In particolare, l’insegnamento contribuisce allo sviluppo delle capacità di: comprensione dei principi scientifici ed ingegneristici fondamentali e la loro applicazione alle principali tecnologie adottate in impresa. Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente gli elementi fondamentali dell'algebra lineare e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili, con particolare riferimento a sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali, trasformazioni lineari, autovalori ed autovettori, forme quadratiche, curve, funzioni di più variabili, limiti, derivate parziali e direzionali, differenziabilità, derivate seconde, formula di Taylor, ottimizzazione libera e vincolata, integrali multipli, formule di riduzione e cambiamento di variabili, equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili, del secondo ordine lineari a coefficienti costanti. Nel corso verranno fornite applicazioni all'ingegneria di alcuni degli argomenti.

A seguito del superamento dell’esame, lo studente conoscerà e comprenderà i concetti fondamentali dell'algebra lineare (sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari, autovalori e autovettori, forme quadratiche) e dell'analisi matematica (curve, calcolo differenziale per funzioni di più variabili, ottimizzazione libera e vincolata, integrali multipli ed equazioni differenziali ordinarie) (DD1).

Lo studente svilupperà la capacità di applicare conoscenza e comprensione degli argomenti del corso nella risoluzione di problemi ed esercizi, mostrando un approccio rigoroso, logico, coerente con la teoria e con un'adeguata correttezza nei calcoli (DD2).

Tale capacità non sarà limitata alla risoluzione di esercizi standard, ma critica e in grado di mostrare una comprensione approfondita dei contenuti, distinguendo le diverse situazioni e compiendo scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti (DD3).

Lo studente esporrà in modo preciso, rigoroso ed esaustivo le conoscenze teoriche acquisite, dimostrando di conoscerne rigorosamente le definizioni e sapendo illustrare la teoria sia tramite l'enunciazione e la dimostrazione di teoremi fondamentali di algebra lineare e analisi matematica, sia avvalendosi di opportuni esempi e controesempi (DD4).

Eliminazione di Gauss. Il metodo di eliminazione di Gauss, risoluzione di sistemi lineari triangolari e quadrati. 

Matrici. Matrici, operazioni tra matrici, matrice inversa. Determinante, complemento algebrico, formula di Laplace, matrice trasposta, matrice aggiunta.

Spazi vettoriali ed applicazioni lineari. Spazi vettoriali (reali), vettori, combinazioni lineari, Span di k vettori, basi, dimensione. Prodotto scalare e norma, vettori ortogonali, basi ortonormali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di una applicazione lineare, rango di una applicazione lineare, teorema della dimensione. 

Sistemi lineari. Matrici e sistemi lineari a scala. Tecniche di calcolo: per la risoluzione di sistemi lineari generali, per trovare il rango e una base dell'immagine di una matrice, per trovare la dimensione e una base del nucleo di una matrice, per trovare dimensione e base di un sottospazio generato da vettori assegnati. 

Matrici e applicazioni lineari. Teorema di rappresentazione di una applicazione lineare, cambiamenti di base, matrici simili. 

Autovalori, autovettori, forme quadratiche. Autovalori, autovettori, autospazi. Condizioni per la diagonalizzabilità di una matrice (e di un endomorfismo). Matrici ortogonali, matrici simmetriche, teorema spettrale. Forme quadratiche, matrice di rappresentazione, segno.

Funzioni reali di più variabili reali. Cenni di topologia, coordinate polari nel piano, curve nel piano e nello spazio. Insieme di definizione di una funzione di più variabili, insiemi di livello. Definizione e calcolo di limiti. Funzioni continue e loro proprietà. Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, piano tangente. Proprietà delle funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana, teorema di Schwarz, formula di Taylor con resto di Peano. 

Massimi e minimi. Punti di massimo e di minimo relativo, punti critici, teorema di Fermat, punti di sella. Classificazione di punti critici con il criterio della matrice Hessiana e per indagine diretta. Massimi e minimi vincolati su vincoli di uguaglianza, metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo di massimi e minimi di funzioni continue su insiemi compatti. Insiemi e funzioni convesse, ottimizzazione per funzioni convesse. Problemi applicativi di ottimizzazione di interesse economico. 

Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Insiemi normali (o semplici), funzioni integrabili secondo Riemann su insiemi normali (o semplici), integrali doppi, formule di riduzione per integrali doppi su insiemi normali. Funzioni di più variabili a valori vettoriali, matrice Jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli per fili e per strati. 

Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Teoremi di esistenza ed unicità locale e globale per il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, struttura dell'integrale generale, problema di Cauchy, formula risolutiva. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, problema di Cauchy, struttura dell'integrale generale. Integrale generale per equazioni omogenee a coefficienti costanti. Integrale generale per equazioni non omogenee a coefficienti costanti con il metodo di somiglianza.

Si richiede che lo studente abbia acquisito conoscenze e competenze relative al corso di Analisi Matematica I e Geometria. In
particolare, è richiesta la conoscenza delle principali operazioni con i vettori geometrici nello spazio e la loro applicazione alla
geometria elementare euclidea nello spazio, e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale.

• Prova scritta obbligatoria, con prove in itinere
• Prova orale condizionata (a scelta del docente)

L’esame può essere superato attraverso due prove in itinere (l'accesso alla seconda è subordinato al superamento della prima) oppure mediante un appello completo. In entrambi i casi, la prova scritta obbligatoria si suddivide in una parte di teoria e una di esercizi; la valutazione dello scritto è positiva solo se si ottiene la sufficienza in entrambe le parti. La parte di teoria, che comprende definizioni, esempi, controesempi, presentazioni generali di argomenti, enunciati e dimostrazioni di teoremi, verifica la conoscenza e la comprensione rigorosa dei risultati teorici dell'algebra lineare e dell'analisi matematica (DD1), nonché la capacità di esposizione precisa ed esaustiva (DD4). La parte di esercizi accerta la capacità di applicare le conoscenze teoriche (DD2) con un approccio logico, coerente e con un'adeguata correttezza nei calcoli, valutando la capacità di scelta critica dei metodi più appropriati (DD3). Essa verte sull'intero programma del corso. In particolare, lo studente dovrà:

1. risolvere sistemi lineari, usare l'algoritmo di eliminazione di Gauss;
2. eseguire somma e prodotto tra matrici, calcolare rango e determinante di matrici, calcolare la matrice trasposta, l'aggiunta e l'inversa;
3. verificare se un insieme è uno spazio o un sottospazio vettoriale, eseguire combinazioni lineari di vettori, stabilire se dei vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti, se costituiscono una base di uno spazio vettoriale; estrarre una base da un sistema di generatori, determinare una base di un sottospazio vettoriale e determinarne la dimensione, operare cambiamenti di base e di coordinate, calcolare il prodotto scalare tra vettori;
4. saper riconoscere e rappresentare una trasformazione lineare tra spazi vettoriali, determinarne nucleo ed immagine e loro proprietà, stabilire se è iniettiva, suriettiva o biiettiva;
5. determinare autovalori ed autovettori di una matrice o di una trasformazione lineare, stabilire se esse sono diagonalizzabili, scrivere la matrice diagonale e la matrice diagonalizzante associate, determinare una base di autovettori;
6. riconoscere una forma quadratica, scriverne la matrice di rappresentazione, ridurla in forma canonica metrica, studiarne il segno;
7. stabilire se un insieme è aperto, chiuso, limitato, illimitato, trovarne l'interno, la chiusura, il bordo, i punti di accumulazione; operare con curve nel piano e nello spazio, deteminare l'insieme di definizione di una funzione di due variabili, gli insiemi di livello, il grafico per alcune funzioni elementari; calcolare limiti o dimostrarne la non esistenza; calcolare derivate parziali, gradienti, derivate direzionali; verificare se una funzione è differenziabile, scrivere l'equazione del piano tangente, calcolare derivate seconde, scrivere la formula di Taylor con resto di Peano;
8. trovare punti di estremo relativo, classificarli mediante il test della matrice Hessiana o per indagine diretta; determinare massimo e minimo vincolati con vincolo di uguaglianza, usando parametrizzazioni del vincolo o mediante i moltiplicatori di Lagrange, e con vincolo di disuguaglianza. Riconoscere se una funzione è convessa, calcolare massimo e minimo assoluti di funzioni convesse; 
9. calcolare integrali doppi, usando la formula di riduzione su insiemi semplici e attraverso cambiamenti di coordinate. Calcolare integrali tripli per fili e per strati;
10. risolvere equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili, e relativo problema di Cauchy; risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti e non omogenee con il metodo di somiglianza, e relativo problema di Cauchy.

 A seguito dello scritto positivo, su richiesta dello studente o del docente, si accede a una prova orale. La prova orale verte sull'intero programma del corso. La votazione ottenuta a seguito dell’orale può essere superiore o inferiore a quella riportata nello scritto, e può eventualmente comportare il mancato superamento dell’esame. Durante le prove scritte non è consentito l’uso di libri, appunti, calcolatrici o dispositivi elettronici in generale. Per sostenere le prove d'esame è obbligatoria l'iscrizione tramite il sistema di registrazione online di Ateneo entro la scadenza indicata.