L'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo infinitesimale, differenziale, integrale e dell'algebra lineare e della geometria analitica. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche apprese alle altre discipline ingegneristiche.

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conosce gli elementi fondamentali del calcolo infinitesimale, differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile e dell'algebra lineare e della geometria analitica. In particolare, lo studente è in grado di (DD1,DD2)

- eseguire operazioni e risolvere equazioni con numeri complessi (in forma algebrica e trigonometrica)

- calcolare limiti di funzioni e successioni (con tecniche elementari, ma anche con strumenti quali teoria infiniti/esimi, stime asintotiche, uso di "o piccolo" )

- procedere allo studio qualitativo del grafico di una funzione

- risolvere problemi di integrazione 

- eseguire le operazioni fondamentali sui vettori geometrici e utilizzarli nella risoluzione di semplici problemi di geometria analitica nel piano e nello spazio

- eseguire operazioni su matrici, calcolarne determinante e rango,  

- discutere la risolubilità di un sistema lineare e saperlo risolvere 

- risolvere problemi sulle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali (nucleo, immagine)

- determinare autovalori/autovettori di una matrice ed eventuale matrice diagonale associata

- esporre adeguatamente la teoria (DD4). 

Il docente si attende inoltre una comprensione non limitata all'enunciazione di definizione e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti (DD3).

Insiemi numerici. Numeri reali. Definizione e proprietà (completezza). Estremi di un insieme di numeri reali. Teorema di esistenza dell’estremo superiore. Insiemi limitati e illimitati. Intervalli. Intorni. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica, formule di De Moivre, radice n-esima, piano di Gauss, teorema fondamentale dell’Algebra.

Funzioni di una variabile reale. 

- Nozioni generali. Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni composte e inverse. Funzioni limitate e monotone. Estremi di una funzione. Funzioni simmetriche, periodiche. Funzioni elementari e loro grafici.

- Limiti. Definizione, teorema di unicità del limite. Limiti destro e sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate di tipo aritmetico. Teoremi della permanenza del segno e di confronto. Limiti di funzioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli. Forme indeterminate di tipo esponenziale. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Infinitesimi e infiniti. Simboli “o piccolo” e “asintotico”.

- Successioni. Definizione e proprietà. Successioni convergenti, divergenti, regolari, indeterminate. Teorema della permanenza del segno e di confronto. Teorema di monotonia. Caratterizzazione sequenziale dei limiti di funzioni.

- Continuità. Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari e di somma, prodotto, quoziente. Continuità della funzione composta e dell’inversa. Classificazione delle discontinuità. Teoremi degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi.

- Calcolo differenziale. Derivata con interpretazione geometrica e fisica. Derivate di funzioni elementari. Relazione fra continuità e derivabilità. Algebra delle derivate. Derivata di funzione composta ed inversa. Funzioni inverse delle trigonometriche e loro derivate. Funzioni iperboliche e loro inverse. Derivate laterali. Punti singolari. Punti critici e teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, criterio di monotonia. Teoremi di de L’Hospital. Concavità, convessità e flessi.  Studio del grafico di una funzione. Formule di Taylor e di Mac-Laurin.

- Calcolo integrale. Primitiva e integrale indefinito. Tecniche di integrazione indefinita. Integrale definito secondo Riemann. Calcolo di aree piane. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. 

Vettori nel piano e nello spazio. Rette e piani nello spazio tridimensionale. Definizione. Operazioni fondamentali sui vettori. Componenti scalari. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare. Prodotto scalare, vettoriale, misto. Condizioni di ortogonalità, parallelismo e complanarità.Equazione della retta e di un piano (parametrica e cartesiana). Condizioni di ortogonalità e di parallelismo tra due rette, due piani. Retta intersezione di due piani. Distanza di un punto da una retta e da un piano.  

Spazi vettoriali astratti. Definizione di spazio vettoriale astratto. Sottospazio vettoriale e sua caratterizzazione. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi, dimensione, sistema di generatori. 

Matrici e sistemi lineari. Definizione di matrice. Proprietà e operazioni sulle matrici. Determinante e sue proprietà. Teorema di Binet. Determinanti e dipendenza e indipendenza lineare. Rango. Matrici invertibili e matrice inversa. Sistema lineare. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Sistemi dipendnti da un parametro.

Trasformazioni lineari. Definizione, teorema di rappresentazione matriciale. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare. Teorema della nullità+rango.

Autovalori e autovettori. Definizione di autovalore e di autovettore. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Autovalori regolari. Matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzabilità.

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza dei seguenti argomenti: algebra dei polinomi, equazioni algebriche di primo e secondo grado, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano, esponenziali, logaritmi e loro proprietà, disequazioni algebriche, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.

• Prova scritta obbligatoria, con prove in itinere
• Prova orale condizionata (a scelta del docente)

Sono previste, nell’ordine, due prove in itinere (una che si svolge a metà corso e l’altra alla fine del corso) e sono inoltre previsti alcuni appelli d’esame nei periodi fissati dal calendario accademico (indicativamente nei mesi di gennaio/febbraio, giugno/luglio, agosto/settembre; la data del primo appello coincide con quella della seconda prova in itinere).

L’esame può essere superato attraverso le due prove in itinere, o in un appello d’esame.

Sia le prove in itinere che gli appelli constano di due parti. La parte A è teorica, e consiste sia di domande a risposta multipla che di domande aperte, mentre la parte B consta di esercizi. Per il superamento delle parti A e B sono previste specifiche soglie, eventualmente variabili da verifiche in itinere ad appelli, e chiaramente specificate per tempo dai docenti attraverso i consueti canali di comunicazione. Più precisamente

A) Teoria: Questa parte può contenere richieste di definizioni, enunciati, dimostrazioni, esempi, controesempi, quesiti a risposta multipla. 

B) Esercizi: Lo scopo della seconda parte è verificare la capacità di applicare le conoscenze acquisite allo studio di problemi di vario tipo riguardanti tutto il programma svolto.

La prima verifica in itinere, riguardante il programma svolto fino a quel momento, viene superata se i punteggi della parte A e della parte B non sono inferiori alle soglie stabilite. La seconda prova in itinere riguarda la restante parte del programma, e può essere sostenuta solo da chi ha superato la prima. Viene superata se i punteggi della parte A e della parte B non sono inferiori alle soglie stabilite. La prova scritta degli appelli d'esame riguarda tutto il programma svolto.

Se i punteggi delle due prove in itinere sono entrambi non inferiori alle soglie richieste, essi concorrono alla valutazione finale, determinata come media dei due voti parziali. Nel caso degli appelli la valutazione corrisponde al risultato della singola prova scritta. Se la media delle prove in itinere, o il risultato della singola prova scritta nel caso degli appelli, risulta sufficiente, e la/il docente non ritiene necessario convocare per una prova orale, la media così ottenuta è il voto finale conseguito. L’eventuale colloquio richiesto dalla/dal docente, può comprendere sia domande teoriche che esercizi, su tutto il programma.

È facoltà dello studente rinunciare alla valutazione ed accedere a uno dei successivi appelli. 

In sede d'esame, lo studente dovrà essere in grado di:

- calcolare massimi, minimi, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali,

- rappresentare in forma algebrica e trigonometrica numeri complessi e risolvere equazioni e disequazioni che coinvolgono una variabile complessa, con descrizione grafica dei risultati,

- calcolare limiti di successioni e di funzioni con eventuale utilizzo di stime asintotiche e di formula di Taylor,

- studiare una funzione (dominio, segno, simmetrie, limiti, asintoti, calcolo della derivata prima, punti di non derivabilità, monotonia, massimi e minimi, calcolo della derivata seconda, concavità e convessità, punti di flesso) e tracciarne il grafico qualitativo,

- calcolare integrali indefiniti e definiti (anche di funzioni razionali e utilizzando tecniche di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione), con eventuale applicazione al calcolo di aree di regioni piane

- operare con i vettori utilizzandoli per rappresentare rette e piani nello spazio

- eseguire operazioni su matrici, calcolarne determinante e rango 

- discutere la risolubilità di un sistema lineare e saperlo risolvere 

- risolvere problemi sulle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali (nucleo, immagine)

- determinare autovalori/autovettori di una matrice ed eventuale matrice diagonale associata

- esporre in modo chiaro ed esaustivo le definizioni, gli esempi, i teoremi  e le dimostrazioni che fanno parte del programma d'esame.

seconda edizione

II Ed. 2025, 17x24, Paperback, 442 pagine

ISBNCartaceo:9788891936257-ISBNDigitale:9788891936271