L’insegnamento ha come obiettivo formativo la trasmissione della conoscenza di alcuni contenuti e strumenti matematici indispensabili alla costruzione, all’analisi e alla comprensione di modelli matematici per l’ingegneria, e l’insegnamento di una metodologia induttiva/deduttiva per la formulazione dei modelli stessi. Questa conoscenza si fonda sugli insiemi numerici. dai numeri naturali ai numeri complessi, e si sviluppa con l’introduzione del calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile (limiti, continuità, derivabilità, integrabilità di funzioni reali di una variabile reale), dell’algebra lineare (calcolo matriciale, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, autovalori, autovettori e diagonalizzazione, prodotti scalari, diagonalizzazione ortogonale) e della geometria Euclidea tridimensionale. La metodologia si basa sullo sviluppo rigoroso di concetti e sulla deduzione di proprietà di enti matematici usando argomentazioni logiche formali.

Al termine dell'insegnamento, gli studenti che avranno fatti propri i contenuti e la metodologia, in termini di conoscenza e capacità di comprensione, saranno in grado di esprimere i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale, dell’algebra lineare e della geometria analitica attraverso definizioni, teoremi, esempi e controesempi (Descrittore di Dublino 1, ovvero DdD 1).

In merito all’applicazione delle conoscenze e della capacità di comprensione acquisite, gli studenti saranno in grado di:

• dimostrare alcuni teoremi fondamentali (DdD2)
• risolvere equazioni sul campo complesso (DdD2)
• calcolare limiti di funzioni e di successioni (DdD2)
• calcolare derivate di funzioni (DdD2)
• esaminare e rappresentare graficamente delle funzioni (DdD2)
• calcolare aree e integrali di funzioni (DdD2)
• effettuare operazioni sulle matrici (DdD2)
• calcolare basi e dimensioni di spazi vettoriali (DdD2)
• studiare applicazioni lineari (DdD2)
• diagonalizzare matrici e matrici simmetriche (DdD2)
• applicare il calcolo vettoriale (DdD2)
• esaminare e riconoscere equazioni di piani e rette (DdD2)
• calcolare le posizioni mutue di piani e rette (DdD2)

Le attività didattiche sono realizzate a mezzo di lezioni e di esercitazioni frontali.

L’insegnamento si basa su argomenti divisi in moduli come descritto in seguito:

• Insiemi numerici. Dai numeri naturali ai numeri reali. Maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali.
• Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica. Operazioni. Formule di De Moivre. Radici n-esime.
• Limiti e continuità. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotòne, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Regolarità di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità. Asintoti. 
• Calcolo differenziale. Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Algebra delle derivate. Teoremi di Fermat, di Rolle, del valor medio (o di Lagrange), di Cauchy e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Funzioni convesse/concave, punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.
• Calcolo integrale. Primitive e integrali indefiniti. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni del calcolo integrale al calcolo di aree e di volumi.
• Calcolo matriciale e sistemi lineari. Operazioni con matrici. Determinante di matrici quadrate. Rango. Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
• Spazi vettoriali reali. Operazioni tra vettori. Sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Insiemi di generatori. Basi. Dimensione. Componenti di vettori. Cenni alle operazioni sui sottospazi ed alla Formula di Grassmann.
• Applicazioni lineari. Nucleo ed immagine. Teorema del rango. Teorema d’interpolazione. Rappresentazione usando matrici. Cambi base.
• Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico. Autovalori e loro calcolo. Autospazi e limitazioni sulle loro dimensioni. Condizioni equivalenti per la diagonalizzabilità.
• Spazi euclidei. Prodotti scalari tra vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angolo tra vettori. Basi ortonormali. Matrici ortogonali. Endomorfismi simmetrici. Diagonalizzazione ortogonale.
• Vettori geometrici ed elementi di geometria analitica. Lo spazio euclideo tridimensionale e vettori geometrici. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Prodotto vettoriale e area, prodotto misto e volume nello spazio tridimensionale. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Distanze punto-piano e punto-retta. Fasci di piani.

• SDG4 - QUALITY EDUCATION

Allo studente sono richieste le seguenti conoscenze pregresse: conoscenze di base della teoria degli insiemi, conoscenze di base di geometria analitica piana, calcolo algebrico, esponenziale e logaritmico, trigonometrico, risoluzione di equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado, razionali ed irrazionali, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche.

• Written exam mandatory, with midterm assessments
• Oral exam conditional (professor’s choice)

Visto che con esercizi e domande sulla teoria sarà possibile valutare gli studenti per conoscenza e capacità di comprensione acquisite, e per capacità di applicare tali conoscenze, le prove scritte sono strutturate come segue:

Prove in itinere

• esercizi aperti (11 punti, soglia minima 5); 
• domande di teoria (5 punti, soglia minima 2);

Appello

• esercizi aperti (22 punti, soglia minima 11);
• domande di teoria (10 punti, soglia minima 5).

Per quanto riguarda le prove in itinere, sono ammessi alla seconda prova i soli studenti che ottengono un punteggio di almeno 8/16 nella prima prova, avendo raggiunto le soglie minime nelle due parti. Analogamente, la seconda prova risulta superata se si ottiene un punteggio di almeno 8/16, avendo raggiunto le soglie minime nelle due parti. I punteggi delle due prove in itinere vanno sommati: l’esame risulta superato se si ottiene un punteggio di almeno 18/30. Analogamente, in un appello, l’esame risulta superato se si ottiene un punteggio di almeno 18/30, avendo raggiunto le soglie minime nelle due parti.

Uno studente che abbia superato le soglie minime nelle due prove in itinere o in un appello, può chiedere di sostenere una prova orale che concorrerà alla determinazione del voto finale. Qualora il docente ritenga utile una verifica del grado di comprensione degli argomenti previsti dal programma, uno studente potrà essere convocato a sostenere una prova orale che concorrerà alla determinazione della votazione finale.

Note scritte da R. Notari

Testi e soluzioni di R. Notari