Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento ha il duplice obiettivo di fornire allo studente sia i principi fondamentali dell’algebra lineare, sia le applicazioni del metodo delle coordinate della geometria analitica.

Si propone lo studio dei vettori geometrici, delle matrici e delle operazioni relative. Viene sviluppata la teoria dei sistemi lineari. Si considerano la costruzione e lo studio degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Si forniscono le nozioni e i concetti fondamentali riguardanti autovalori e autovettori. Si tratta il prodotto scalare euclideo. Si approfondisce il metodo delle coordinate cartesiane nel piano e nello spazio, anche attraverso il calcolo vettoriale, e con particolari applicazioni allo studio di problemi riguardanti rette, piani, coniche e quadriche.

Ci si attende che lo studente conosca gli elementi fondamentali dell’algebra lineare, con particolare riferimento ai seguenti:

• studio e risoluzione di sistemi lineari;
• studio di spazi e sottospazi vettoriali (dimensione, generatori, basi, basi ortonormali);
• studio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali;
• concetti di autovalore e autovettore, e relativa applicazione a problemi legati alla diagonalizzazione degli endomorfismi.

Ci si attende altresì la conoscenza del metodo delle coordinate cartesiane, con applicazioni particolari a

• risoluzione di problemi riguardanti piani e rette nello spazio
• calcolo vettoriale nel piano e nello spazio;
• classificazione e studio di coniche e quadriche;

Il docente si attende una comprensione che non sia limitata al solo enunciato di definizioni e di risultati, e alla risoluzione di esercizi standard, ma sia anche critica, in grado di distinguere differenti tipologie di problemi e di soluzioni,  attraverso scelte consapevoli  e giustificazione dei procedimenti seguiti.

Ci si aspettano inoltre un'esposizione ben argomentata della teoria e un’adeguata correttezza nei calcoli.

MATRICI E VETTORI GEOMETRICI 

Vettori geometrici. Alcune operazioni algebriche sui vettori geometrici. Generalità sulle matrici, operazioni, dipendenza lineare, determinante, rango, inversa di una matrice quadrata, matrici ortogonali.

SISTEMI LINEARI 

Nozioni fondamentali, teorema di Rouché-Capelli, procedimenti di risoluzione di un sistema lineare, teorema di Cramer, sistemi lineari omogenei e loro autosoluzioni.

SPAZI VETTORIALI

Operazioni tra vettori, sottospazi, dimensione, generatori e basi, somma ed intersezione di sottospazi. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Cambio di base.

APPLICAZIONI LINEARI

Generalità, nucleo ed immagine, applicazioni lineari e matrici, applicazioni lineari iniettive e suriettive. Endomorfismi.

AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Nozione ed esempi di autovalori e di autovettori. Interpretazione geometrica. Matrice caratteristica, polinomio caratteristico, equazione caratteristica. Similitudine di matrici. Diagonalizzazione degli endomorfismi e teoremi relativi.

SPAZI EUCLIDEI

Nozione di prodotto scalare euclideo: norma, angolo e ortogonalità tra vettori. Espressione cartesiana del prodotto scalare. Basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezioni ortogonali e loro applicazioni. Isometrie e matrici ortogonali. Diagonalizzazione ortogonale: endomorfismi simmetrici e matrici reali e simmetriche. Teorema spettrale. Applicazione alle forme quadratiche.

COORDINATE CARTESIANE E GEOMETRIA ANALITICA LINEARE

Riferimento cartesiano ortogonale monometrico, nel piano e nello spazio.  Rappresentazioni di punti e rette. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani, parametri direttori di rette e piani. Distanze, angolo tra due rette, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra piani. Angolo tra rette e piani. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Rette sghembe e minima distanza. Fasci di rette, fasci di piani. 

CONICHE E QUADRICHE

Definizione analitica di una quadrica e conica. Connessione con le forme quadratiche, matrice associata, autovalori e invarianti ortogonali. Classificazione di coniche e quadriche. Riduzione di quadriche e coniche in forma canonica. Considerazioni geometriche: centro, asse, piani di simmetria, quadriche di rotazione. Cenni alla loro costruzione. Nozioni  sulle coniche sia come curve algebriche di secondo grado, sia come sezioni piane di un cono circolare retto. Proprietà analitiche delle coniche. Determinazione degli asintoti di un’iperbole. Determinazione dell’asse e del vertice di una parabola.

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado, incluse le nozioni di base di teoria degli insiemi. In maniera particolare  si richiede la capacità di saper lavorare con i polinomi, di applicare le principali formule di trigonometria, di risolvere semplici equazioni, di saper utilizzare i metodi della geometria analitica nel piano.

L’esame può essere superato presentandosi alle prove in itinere, oppure a uno degli appelli previsti dal calendario accademico. Gli studenti che non superano l'esame con le prove in itinere devono comunque sostenere l'esame completo.

Qualora lo studente non si presenti alla prima prova in itinere, non ha comunque diritto di accedere alla seconda. Nel caso in cui la valutazione delle prove in itinere o dell'appello sia di almeno 15/30 lo studente viene convocato a sostenere una prova di teoria. Detta prova è obbligatoria e può portare a una modifica del voto o anche a un esito negativo. A questo punto  si procederà alla fase di consuntivazione, con registrazione in carriera del voto conseguito in caso di esito positivo, o rinvio dello studente agli appelli d'esame altrimenti.

Possono sostenere il singolo appello tutti e soli gli studenti che si sono regolarmente prenotati usando le modalità previste. Non è tecnicamente possibile ai docenti registrare voti per studenti che non risultano iscritti all’appello in questione.

Sia per le prove in itinere, sia per gli appelli d’esame, è facoltà dello studente rifiutare il voto proposto, e accedere di conseguenza agli eventuali appelli d'esame successivi.

L’insegnamento deve essere ripetuto se non viene raggiunta una valutazione sufficiente in alcuno degli appelli previsti dal calendario accademico.

Il giorno dell'esame scritto eventuali studenti stranieri potranno avere il testo della prova tradotto in inglese, dietro richiesta preventiva di almeno 3 giorni lavorativi.