• Blended Learning & Flipped Classroom

L’insegnamento si inserisce all’interno del percorso degli studi perseguendo alcuni degli obiettivi generali di apprendimento dichiarati. 

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale. In particolare, l’insegnamento fornisce conoscenze relative a: gli insiemi numerici; le funzioni reali di variabile reale (limiti continuità e comportamento asintotico); il calcolo differenziale (derivabilità, monotonia e convessità, ricerca di massimi e minimi, formula di Taylor e sue applicazioni al comportamento asintotico delle funzioni); studio del grafico di una funzione; calcolo integrale per le funzioni di una variabile reale ed lo studio di successioni e serie numeriche; la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate ordinarie del primo ordine. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline ingegneristiche.

Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile. 

Lo studente sarà in particolare in grado di risolvere operazioni ed equazioni con i numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni, di risolvere problemi di integrazione e convergenza di integrali impropri, di discutere il carattere di successioni e serie numeriche, di risolvere equazioni differenziali alle derivate ordinarie del primo ordine, di sapere enunciare e dimostrare alcuni teoremi di base dell'Analisi Matematica.

Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.

Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

Programma delle lezioni ed esercitazioni

1. Insiemi e operazioni insiemistiche. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Insiemi limitati o superiormente/inferiormente limitati, massimo/minimo, estremo superiore/inferiore. Valore assoluto.

2. Numeri complessi, piano di Argand-Gauss. Forma algebrica e trigonometrica; operazioni ed equazioni con numeri complessi.

3. Funzioni: generalità, dominio, dominio naturale, codominio, immagine, grafico. Prolungamenti e restrizioni. Iniettività, suriettività, invertibilità. Estremi ed estremanti di una funzione. Funzioni limitate, monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e loro grafici. Successioni.

4. Limiti di funzioni. Algebra dei limiti e forme di indecisione. Teoremi sui limiti. Caso particolare dei limiti di successioni. Limiti notevoli. Il numero e. Simboli di Landau, proprietà relative ed utilizzo nel calcolo dei limiti. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità. Prolungamento per continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri e dei valori intermedi. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Asintoti.

5. Rapporto incrementale e derivata. Interpretazione geometrica e retta tangente. Funzioni derivabili, loro continuità. Derivata destra e sinistra, punti di non derivabilità. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Punti stazionari e teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, de l’Hospital. Teoremi di monotonia. Formula di Taylor. Convessità. Studio di funzione. 

6. Primitive e integrali indefiniti. Metodi per la ricerca di una primitiva. Integrale definito e relative proprietà. Integrabilità delle funzioni continue. Valor medio e teorema della media. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo. Integrali generalizzati: definizioni e criteri per lo studio del carattere.

7. Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Alcune serie notevoli. Criteri per lo studio del carattere.

8. Matrici e determinanti; lo spazio vettoriale Rⁿ; algebra dei vettori, rette e piani; applicazioni lineari e forme quadratiche; autovalori e autovettori; sistemi lineari. Geometria analitica del piano e dello spazio: piani e rette.

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea(aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica. Esponenziali e logaritmi e loro proprietà.

L’esame può essere superato attraverso due prove in itinere o presentandosi a uno degli appelli delle tre sessioni d'esame (giugno-luglio/settembre/gennaio-febbrario). Secondo la prima modalità - la cui partecipazione non è obbligatoria, ma fortemente consigliata - il programma d’esame riguarderà parti distinte del programma. Se il voto ottenuto in una prova è sufficiente, esso concorre alla valutazione finale, determinata come media aritmetica dei risultati parziali. Gli appelli successivi al primo perdono memoria di eventuali valutazioni parziali e riguardano l’intero programma d’esame. In entrambi i casi, nella composizione del voto si terrà conto anche della chiarezza di esposizione. I quesiti presenti nelle prove d'esame possono essere esercizi, definizioni, esempi, contro esempi e teoremi eventualmente con dimostrazione. A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, potrà essere convocato a sostenere una prova orale.